Question

如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，

   

   （I）求多面體ABCDS的體積；

   （II）求AD與SB所成角的余弦值。

   （III）求二面角A—SB—D的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

（I）多面體ABCDS的體積即四棱錐S—ABCD的體積。

         所以…………4分

   （II）由題可知DA、DA、DC兩兩互相垂直，

         如圖建立空間直角坐標系

        

        

        

         AD與SB所成的角的余弦為…………9分

   （III）設面SBD的一個法向量為

        

         又

         設面SAB的一個法向量為

         …………11分

    ，

         所以所求的二面角的余弦為…………14分

         解法二：（I）同解法一

   （II）矩形ABCD，

         ADBC，即BC=a，

    要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角。…………6分

         在中，由（1）知面ABCD。

        

         CD是CS在面ABCD內的射影，且

        

        

         BC與SB所成的角的余弦為

         從而SB與AD的成的角的余弦為…………9分

   （III）

         面ABCD。

         BD為面SDB與面ABCD的交線。

        

         SDB

         于F，連接EF

         從而得：

         為二面角A—SB—D的平面角…………11分

         在矩形ABCD中，對角線

         中，

         由（2）知在

         而

        

         為等腰直角三角形且

        

         ，

         所以所求的二面角的余弦為…………14分