Question

已知函數f（x）=lnx-ax²-bx（a，b∈R，且a≠0）．
（1）當b=2時，若函數f（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（2）當a＞0且2a+b=1時，討論函數f（x）的零點個數．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導函數f′（x），再將函數f（x）存在單調遞減區間問題轉化為導函數f′（x）≤0在x∈(0，+∞)上有無窮多個解問題，最后可利用參變分離法，轉化為求函數最值問題，得a的取值范圍；（2）先將函數中的參數統一為a，再利用導數研究函數f（x）的單調性和極值、最值，最后利用這些性質研究函數的零點個數即可

解答：解：（1）當b=2時，函數f（x）=lnx-ax²-2x，其定義域是(0，+∞)，
∴f′(x)=

1

x

-2ax-2=-

2ax2+2x-1

x

．
∵函數f（x）存在單調遞減區間，
∴f′(x)=-

2ax2+2x-1

x

≤0在x∈(0，+∞)的一個子區間上恒成立．
∴關于x的不等式2ax²+2x-1≥0在x∈(0，+∞)的一個子區間上恒成立．
則關于x的不等式2a≥

1-2x

x2

=(

1

x

-1)2-1在x∈(0，+∞)一個子區間上成立，
∴2a＞-1，即a＞-

1

2

，而a≠0．
∴a的取值范圍為(-

1

2

，0)∪(0，+∞)．
（2）當b=1-2a時，函數f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x，其定義域是(0，+∞)，
∴f′(x)=

1

x

-2ax-(1-2a)=-

2ax2+(1-2a)x-1

x

．
令f′（x）=0，得

2ax2+(1-2a)x-1

x

=0，即2ax²+（1-2a）x-1=0，（x-1）（2ax+1）=0，
∵x＞0，a＞0，則2ax+1＞0，
∴x=1
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
∴函數f（x）在區間(0，1)上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減．
∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-a-b=-a-1+2a=a-1．
①當a=1時，f（1）=0，若x≠1，則f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
此時，函數f（x）與x軸只有一個交點，故函數f（x）只有一個零點；
②當a＞1時，f（1）＞0，
又f(

1

ea

)=ln

1

ea

-a•(

1

ea

)2-(1-2a)×

1

ea

=-a(

1

ea

-1)2-

1

ea

＜0，f（e）=lne-ae²-（1-2a）e=1-ae（e-2）-e＜0，
函數f（x）與x軸有兩個交點，故函數f（x）有兩個零點；
③當0＜a＜1時，f（1）＜0，函數f（x）與x軸沒有交點，故函數f（x）沒有零點．
綜上所述：當a=1時，函數f（x）只有一個零點；
當a＞1時，函數f（x）有兩個零點；
當0＜a＜1時，函數f（x）沒有零點

點評：本題考查了導數在函數單調性中的應用，函數的單調性與導函數的零點分布間的關系，利用導數研究函數性質，進而解決函數根的分布和根的個數問題的方法，轉化化歸的思想方法