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已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為R的球面上,且滿足:,則三棱錐P-ABC的側面積的最大值為( )
A.2R2
B.3R2
C.4R2
D.R2
【答案】分析:由已知中三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為的球面上,且滿足:,則在P點PA,PB,PC兩兩垂直,球直徑等于以PA,PB,PC為棱的長方體的對角線,由基本不等式易得到三棱錐P-ABC的側面積的最大值.
解答:解:∵
∴PA,PB,PC兩兩垂直,
又∵三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為R的球面上
∴(2R)2=PA2+PB2+PC2
則由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB,PA2+PC2≥2PA•PC,PB2+PC2≥2PB•PC,
即4R2=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
則三棱錐P-ABC的側面積S=(PA•PB+PB•PC+PA•PC)≤2R2
則三棱錐P-ABC的側面積的最大值為2R2
故選A
點評:本題考查的知識點是棱錐的側面積,基本不等式,棱柱的外接球,其中根據已知條件,得到棱錐的外接球直徑等于以PA,PB,PC為棱的長方體的對角線,是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知三棱錐P-ABC的三條側棱PA,PB,PC兩兩相互垂直,且PA=2
3
,PB=3,PC=2外接球的直徑等于
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知三棱錐P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D、F分別為AC、PC的中點,DE⊥AP于E.
(Ⅰ)求證:AP⊥平面BDE;
(Ⅱ)若AE:EP=1:2,求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D為AB中點,M為PB的中點,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.
(I)求證:DM∥平面PAC;
(II)求證:平面PAC⊥平面ABC;
(Ⅲ)求三棱錐M-BCD的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•河西區二模)如圖,已知三棱錐P-ABC中,PA⊥面ABC,其中正視圖為Rt△PAC,AC=2
6
,PA=4,俯視圖也為直角三角形,另一直角邊長為2
2

(Ⅰ)畫出側視圖并求側視圖的面積;
(Ⅱ)證明面PAC⊥面PAB;
(Ⅲ)求直線PC與底面ABC所成角的余弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•黃浦區二模)已知三棱錐P-ABC的棱長都是2,點D是棱AP上不同于P的點.
(1)試用反證法證明直線BD與直線CP是異面直線.
(2)求三棱錐P-ABC的體積VP-ABC

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