Question

已知函數，a∈R．
（1）求f（x）的極值；
（2）若關于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍；
（3）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數的定義域，在函數定義域內連續可導，討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值．
（2）要使不等式在（0，+∞）恒成立，只需求函數在（0，+∞）的最大值，建立參數k的等量關系，解之即可．
（3）先由（1）知，lnx-x+1≤0，從而有lnn²≤n²-1，再進行求和，利用放縮法，然后用立項求和的方法進行求和即可得證．
解答：解：（1），令f'（x）=0，得x=e^a，當x∈（0，e^a）時，f'（x）＞0
函數f（x）為增函數，當x∈（e^a，+∞）時，f'（x）＜0，函數f（x）為減函數，
故f（x）有極大值為f（e^a）=e^-a，（5分）
（2）由（1）知，令a=1，
則，
故只需，所以得-1＜k≤1（10分）
（3）由（1）知f（x）≤e^-a，令a=0，則有lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2∴lnn²≤n²-1，
∴，
故
=
==（14分）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及恒成立與不等式的證明問題，屬于難題．