Question

已知斜三棱柱ABC-A′B′C′每條側棱長為3，底面為邊長2的正三角形，側面BCC′B′垂直于底面，且CC′=BC′．
（1）求證AC′⊥BC；
（2）求四棱錐C′-ABB′A′的體積．

Answer 1

分析：（1）取BC中點D，連接AD、C'D，利用等腰三角形“三線合一”，可證出AD⊥BC且C'D⊥BC，結合線面垂直的判定定理，得BC⊥面ADC'，從而得到BC⊥AC'．
（2）根據面面垂直的性質，得到C'D⊥平面ABC，從而得到C'D是三棱柱ABC-A'B'C'和三棱錐C'-ABC的高，在Rt△C'D中，算出C'D的長，可得三棱柱ABC-A'B'C'和三棱錐C'-ABC的體積，將兩體積相減可得四棱錐C′-ABB′A′的體積．

解答：解：（1）取BC中點D，連接AD、C'D，
∵正三角形ABC中，AD是中線，∴AD⊥BC，
又∵△BCC'中，CC′=BC′，CD=DB
∴C'D⊥BC，
∵AD、C'D是平面ADC'內的相交直線，
∴BC⊥面ADC'
∵AC'?面ADC'，∴BC⊥AC'…（7分）
（2）∵平面BCC′B′⊥平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC=BC，C'D⊥BC
∴C'D⊥平面ABC，
Rt△C'D中，CD=1，CC'=3，∴C'D=

C′C2-CD2

=2

2

，…（10分）
∴三棱柱ABC-A'B'C'的體積為V₁=S△ABC•C'D=

3

4

×2²×2

2

=2

6

三棱錐C'-ABC的體積V₂=

1

3

V₁=

2 6

3

因此，四棱錐C′-ABB′A′的體積V=V₁-V₂=2

6

-

2 6

3

=

4 6

3

…（14分）

點評：本題在三棱柱中證明線面垂直，并求四棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質和棱體、錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．