Question

一非零向量列{a_n}滿足a₁=(x₁，y₁)，a_n=(x_n，y_n)=(x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1)(n≥2)，

(1)證明：{|a_n|}是等比數列；

(2)求a_n-1與a_n的夾角θ_n(n≥2)，若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；

(3)設a₁=(1，2)，把a₁，a₂，…，a_n，…中所有與a₁共線的向量按照原來的順序排成一列，記為b₁，b₂，…，b_n，…，令=b₁+b₂+b₃+…+b_n(O為坐標原點)，

    求點列{B_n}的極限點B的坐標(注：若點B_n的坐標為(t_n，s_n)且t_n=t，s_n=s，則點B(t，s)為點列{B_n}的極限點).

Answer 1

解：(1)|a_n|

=

=|a_n-1|對任意n≥2恒成立，即|a_n|=|a_n-1|，故{|a_n|}是首項為|a₁|，公比為的等比數列；

(2)a_n-1·a_n=(x_n-1，y_n-1)·(x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1)=(x_n-1²+y_n-1²)=|a_n-1|²，cos〈a_n-1，a_n〉=，將|a_n|=|a_n-1|，a_n-1·a_n=|a_n-1|²代入上式可得cos〈a_n-1，a_n〉=，所以a_n-1與a_n的夾角為θ_n=；b_n=2nθ_n-1=-1，則{b_n}為等差數列，S_n=×n=(1+n)n-n=(n²+n)-n.

(3)∵a₁=(x₁，y₁)，a_n=(x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1)，∴a₂=(x₁-y₁，x₁+y₁)，

a₃=(-y₁，x₁)，a₄=(-x₁-y₁，x₁-y₁)，a₅=-(x₁·y₁)，類推得a₁∥a₅∥a₉…，所以b₁=a₁，b₂=a₅，…b_n=a_4n-3(也可用數學歸納法證明)，b_n=a_4n-3=(-14)^n-1(x₁·y₁)，設=(t_n，s_n)，則t_n=［1+(-)+(-)²+…+(-)^n-1］x₁=［1-(-)ⁿ］，t_n=，S_n=［1+(-)+(-)²+…+(-)^n-1］y₁=［1-(-)ⁿ］，s_n=，所以，極限點B的坐標為(，).