Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，點M是CD的中點，點N是PB的中點，連接AM，AN，MN．
（1）求證：MN∥面PAD；
（2）若MN=5，AD=3，求二面角N-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證明線面平行，需要設法在平面PAD內找到與MN平行的直線，因為給出的M，N分別是DC和PB的中點，所以聯想到找PA的中點E，然后利用三角形的中位線知識結合底面是正方形證出DE∥MN，則問題得到證明；
（2）求二面角N-AM-B的余弦值，可采用找二面角的平面角的辦法，因為易證平面PAB⊥平面ABCD，所以可以直接過N作AB的垂線垂足為G，則該垂線垂直于底面，然后過垂足G作AM的垂線GF，連接NF，則二面角的平面角找出，然后利用題目給出的條件，通過解直角三角形進行求解即可．

解答：（1）證明：如圖，
取PA的中點E，連接DE，EN，
∵點N是PB的中點，∴EN∥AB，EN=

1

2

AB．
∵點M是CD的中點，底面ABCD是正方形，
∴DM∥AB，DM=

1

2

AB．
∴EN∥DM，EN=DM．
∴四邊形EDMN是平行四邊形．
∴MN∥DE．
∵DE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥面PAD；
（2）解：取AB中點G，連結NG，則NG∥PA，PA⊥面ABCD，
∴NG⊥面ABCD．
∵AM?面ABCD，
∴NG⊥AM．
過G作GF⊥AM，垂足為F，連接NF，
∵NG∩GF=G，NG?面NGF，GF?面NGF，
∴AM⊥面NGF．
∵NF?面NGF，
∴AM⊥NF．
∴∠NFG是二面角N-AM-B的平面角．
在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，得NG=

MN2-MG2

=

52-32

=4，
在Rt△MGA中，AG=

3

2

，得AM=

MG2+AG2

=

32+( 3 2 )2

=

3 5

2

，
GF=

AG•MG

AM

=

3 2 ×3

3 5 2

=

3 5

5

．
在Rt△NGF中，NF=

NG2+GF2

=

42+( 3 5 5 )2

=

445

5

，
∴cos∠NFG=

GF

NF

=

3 5 5

445 5

=

3 89

89

．
∴二面角N-AM-B的余弦值為

3 89

89

．

點評：本題考查了線面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，“尋找垂面，構造垂線”是找二面角的平面角常用的方法，此題是中檔題．