Question

(2007江蘇，20)已知是等差數列，是公比為q的等比數列，，．記為數列的前n項和．

(1)若(m，k是大于2的正整數)，求證：；

(2)若(i是某個正整數)，求證：q是整數，且數列中的每一項都是數列中的項；

(3)是否存在這樣的正數q，使等比數列中有三項成等差數列?若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設等差數列的公差為d，則由題設得 ，，且q≠1． 由得， 所以， ． 故等式成立． (2)(i)證明q為整數： 由得， 即， 移項得． 因，，得q=i－2，故q為整數． (ii)證明數列中的每一項都是數列中的項： 設是數列中的任一項，只要討論n＞3的情形． 令， 即， 得． 因q=i－2，當i=1時，q=－1，為－1或0，則k為1或2； 而i≠2，否則q=0，矛盾． 當i3時，q為正整數，所以k為正整數，從而． 故數列中的每一項都是數列中的項． (3)取，，． ． 所以，，成等差數列．