Question

設命題p：冪函數f(x)=xa2-2a-3在x∈（0，+∞）上單調遞減；命題q：函數g（x）=x²+（2a-1）x+1在(-∞，

1

2

]上是減函數．若p和q有且只有一個為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q成立的等價條件，然后利用p和q有且只有一個為真，求實數a的取值范圍．

解答：解：要使冪函數f(x)=xa2-2a-3在x∈（0，+∞）上單調遞減，則a²-2a-3＜0，解得-1＜a＜3，
∴p：a∈（-1，3）．
函數g（x）=x²+（2a-1）x+1在（-∞，

1

2

]上是減函數，
∴

1-2a

2

≥

1

2

，即a≤0．
∴q：a∈（-∞，0]．
當p真q假時，a∈（-1，3）∩（0，+∞）=（0，3）；
當p假q真時，a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）∩（-∞，0]=（-∞，-1]．
綜上，a的取值范圍為（-∞，-1]∪（0，3）．

點評：本題主要考查命題的真假判斷和應用，利用函數的性質將命題進行等價化簡是解決本題的關鍵．