Question

已知等比數列{a_n}的公比為q，S_n是{a_n}的前n項和．
（1）若a₁=1，q＞1，求的值；
（2）若a₁=1；對①和②時，分別研究S_n的最值，并說明理由；
（3）若首項a₁=10，設，t是正整數，t滿足不等式|t-63|＜62，且對于任意正整數n有9＜S_n＜12成立，問：這樣的數列{a_n}有幾個？

Answer 1

解：（1），則----（5分）
（2）當時，，所以S_n隨n的增大而增大，而S₁≤S_n＜2，
此時S_n有最小值為1，但無最大值．-------------------------------（3分）
（只給出答案而不能夠說明理由的，得1分）
當時，
若n=2k，k∈N^*時，，所以S_n隨k的增大而增大，
即n是偶數時，，即
若n=2k-1，k∈N^*時，，所以S_n隨k的增大而減小，
即n是奇數時，，即
所以，S_n有最大值為1，最小值為．---（4分）
（只給出答案而不能夠說明理由的，得1分）
（3）．
且S_n隨著n的增大而增大-----------------------（3分）-----------------------------（2分）
t∈N^*?124-6+1=119個．----------------------------------------（1分）
分析：（1）利用等比數列的求和公式，進而可求的值；
（2）當時，，所以S_n隨n的增大而增大，而S₁≤S_n＜2，此時S_n有最小值為1，但無最大值當時，，分n是偶數，奇數討論求最大值與最小值
（3）根據t滿足不等式|t-63|＜62，可確定q的范圍，進而可得S_n隨著n的增大而增大，利用9＜S_n＜12，可求解．
點評：本題以等比數列為載體，考查數列的極限，考查等比數列的求和，考查數列的單調性，屬于中檔題．