Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 對任意的n∈N* ， 點（n，Sn）恒在函數y= x的圖象上．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）記Tn= ，若對于一切的正整數n，總有Tn≤m成立，求實數m的取值范圍；
（3）設Kn為數列{bn}的前n項和，其中bn=2an ， 問是否存在正整數n，t，使 成立？若存在，求出正整數n，t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知，得

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= =3n

當n=1時，a1=S1=3．∴an=3n

（2）

解： ．

當n=1時，Tn+1＞Tn，即T2＞T1；當n=2時，Tn+1=Tn，即T3=T2；

當n≥3時，Tn+1＜Tn，即Tn＜Tn﹣1＜…＜T4＜T3

∴{Tn}中的最大值為 ，

要使Tn≤m對于一切的正整數n恒成立，只需 ∴

解法二：

當n=1，2時，Tn+1≥Tn；當n≥3時，n+2＜2nTn+1＜Tn

∴n=1時，T1=9；n=2，3時， n≥4時，Tn＜T3

∴{Tn}中的最大值為 ，

要使Tn≤m對于一切的正整數n恒成立，只需 ∴

（3）

解：

將Kn代入 ，化簡得， （﹡）

若t=1時， ，顯然n=1時成立；

若t＞1時， （﹡）式化簡為 不可能成立

綜上，存在正整數n=1，t=1使 成立

【解析】（1）利用an=Sn﹣Sn﹣1求解；（2）要使Tn≤m對于一切的正整數n恒成立，只需m≥{Tn}中的最大值即可；（3）求解有關正整數n的不等式．