Question

已知函數g（x）=

3

4

-

1

2

sinxcos-

3

2

sin2x的圖象按向量

m

=（-

π

4

，

1

2

）平移得到函數f（x）=acos²（x+

π

3

）+b的圖象．
（1）求實數a、b的值；
（2）設函數φ（x）=g（x）-

3

f（x），x∈[0，

π

2

]，求函數φ（x）的單調遞增區間和最值．

Answer 1

分析：（1）由題意按向量

m

平移g（x），確定平移后的解析式，與函數f（x）=acos²（x+

π

3

）+b的圖象相同，比較系數，求實數a、b的值；
（2）化簡函數φ（x）=g（x）-

3

f（x）的表達式，為一個角的一個三角函數的形式，求函數φ（x）的單調遞增區間，根據x∈[0，

π

2

]，求出它的最值．

解答：解：（1）依題意按向量

m

平移g（x）得f（x）-

1

2

=

1

2

sin[2（x+

π

4

）+

2π

3

]
得f（x）=-

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
又f（x）=acos²（x+

π

3

）+b=-

π

2

sin（2x+

π

6

）+

π

2

+b，
比較得a=1，b=0；
（2）φ（x）=g（x）-

3

f（x）
=

1

2

sin（2x+

2π

3

）-

3

2

cos（2x+

2π

3

）-

3

2

=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
∴φ（x）的單調增區間為[0，

π

6

]，值域為[-

3

，1]

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數的單調性，三角函數的最值，考查計算能力，邏輯思維能力，是基礎題．