Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為[﹣2，2]，若對于任意的x，y∈[﹣2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，有f（x）＞0
（Ⅰ）證明：f（x）為奇函數；
（Ⅱ）若f（1）=3求f（x）在[﹣2，2]上的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=﹣x，∴f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x）．
故f（x）為奇函數．
（Ⅱ）f（x）在[﹣2，2]上為單調遞增函數．下面給出證明：
任取﹣2≤x1＜x2≤2，∴x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞0，
∵f（x）在[﹣2，2]上的奇函數，
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在[﹣2，2]上為單調遞增函數．值域為[﹣6，6]
【解析】（I）令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=﹣x，代入即可判斷出奇偶性．（Ⅱ）f（x）在[﹣2，2]上為單調遞增函數．利用奇偶性與單調性的定義及其當x＞0時，有f（x）＞0，即可證明．