Question

【題目】已知數列的前項和滿足，數列的前項和滿足且.

(1)求數列，的通項公式；

(2)設，求數列的前項和;

(3)數列中是否存在不同的三項，，，使這三項恰好構成等差數列?若存在，求出，，的關系；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) (3) 不存在不同的三項，，，使之成等差數列.理由見解析

【解析】

(1)利用通項公式與前n項和的關系可求得數列的通項公式，構造新數列為等差數列，首先求得，然后可得數列的通項公式，注意分情況討論和兩種情況；

(2)結合(1)的結論首先確定數列的通項公式，然后利用錯位相減求和的方法可得數列的前項和;

(3)利用反證法，首先假設存在不同的三項，，滿足題意，然后結合所給的表達式得出矛盾即可說明滿足題意的三項是不存在的.

(1)當時，.

，①

當時，.②

①-②得，，

，故成等比數列，公比，

又，.

，，

數列是一個首項為，公差為的等差數列，

，，

當時，，

且滿足，

.

（2），

.①

.②

①-②，得.

.

（3）且，.

假設存在不同的三項，，，恰好構成等差數列，則，

即，化簡得.

兩邊同除以，得.（*）

不妨設，則，則，且，，與（*）矛盾.

不存在不同的三項，，，使之成等差數列.