Question

已知關于x的二次函數f（x）=x²+（2t-1）x+1-2t．
（1）求證：對于任意t∈R，方程f（x）=1必有實數根；
（2）若方程f（x）=0在區間（-1，2）上有兩個實數根，求t的范圍．

Answer 1

分析：（1）欲使得對于任意t∈R，方程f（x）=1必有實數根，只須其根的判別式大于等于0，由此只須驗證△≥0即可；
（2）欲使方程f（x）=0在區間（-1，2）上有兩個實數根，結合二次函數的圖象可得：①△≥0；②對稱軸在-1與2之間；③函數在x=-1和x=2處的函數值均為正，據此三點列出不等關系解之即得t的范圍．

解答：解：（1）f（x）=1即x²+（2t-1）x-2t=0
△=（2t-1）²+8t=（2t+1）²≥0
∴f（x）=1必有實數根．
（2）若f（x）=0在（-1，2）上有兩個實數根
∴

△=(2t-1)2-4(1-2t)≥0 -1＜- 2t-1 2 ＜2 f(-1)＞0 f(2)＞0

得

t≥ 1 2 或t≤- 3 2 - 3 2 ＜t＜ 3 2 t＜ 3 4 t＞- 3 2

得

1

2

≤t＜

3

4

所以t的范圍為[

1

2

，

3

4

)．

點評：本小題主要考查二次函數的性質、二次函數根的判別式、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．