Question

如圖，已知圓心坐標為的圓與軸及直線分別相切于、兩點，另一圓與圓外切、且與軸及直線分別相切于、兩點．

（1）求圓和圓的方程；

（2）過點B作直線的平行線，求直線被圓截得的弦的長度．

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（1）由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半

徑，則M在∠BOA的平分線上，

        同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點共線，且OMN為∠BOA

的平分線，

∵M的坐標為，∴M到軸的距離為1，即⊙M的半徑為1，

則⊙M的方程為，-------------------------------4分

        設⊙N的半徑為，其與軸的的切點為C，連接MA、MC，

        由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，

        即，

        則OC=，則⊙N的方程為；----------8分

    （2）由對稱性可知，所求的弦長等于過A點直線MN的平行線被⊙截得的弦

的長度，此弦的方程是，即：，

圓心N到該直線的距離d=，--------------------- ------------------ -11分

則弦長=．----------------------------------------------------14分

另解：求得B（），再得過B與MN平行的直線方程，

圓心N到該直線的距離=，則弦長=．

（也可以直接求A點或B點到直線MN的距離，進而求得弦長）