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如圖所示,雙曲線的中心在原點,F、E分別是其左、右焦點,若雙曲線的右支上存在一點P,滿足以雙曲線的虛半軸長為直徑的圓與線段PF相切于其中點C,則該雙曲線的離心率為
5
5
分析:根據切線的性質和三角形中位線定理,證出△PEF中,PF⊥PE且|PE|=2b,用勾股定理算出|PF|=2a,結合雙曲線的定義算出b=2a,c=
5
a.由此即可得出該雙曲線的離心率.
解答:解:∵⊙O切直線PF于點C,∴0C⊥PF
∵0C是△PEF的中位線,得PE∥0C且|PE|=2|0C|
∴△PEF是以EF為斜邊的直角三角形,|PE|=2b
由此可得:|PF|=
EF2-PE2
=
4c2-4b2
=2a
根據雙曲線定義,得|PF|-|PE|=2a
∴2a-2b=2a,可得b=2a,c=
a2+b2
=
5
a
該雙曲線的離心率為e=
c
a
=
5

故答案為:
5
點評:本題給出雙曲線的一條焦半徑與以虛軸為直徑的圓相切于中點,求該雙曲線的離心率.著重考查了直線與圓相切的性質、雙曲線的定義與簡單幾何性質等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•紅橋區一模)如圖所示,雙曲線
x2
16
-
y2
20
=1
上一點P到右焦點F2的距離是實軸兩端點A1,A2到右焦點F2距離的等差中項,則P點到左焦點F1的距離為(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•宣武區一模)在面積為9的△ABC中,tan∠BAC=-
4
3
,且
CD
=2
DB
.現建立以A點為坐標原點,以∠BAC的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標系,如圖所示.
(1)求AB、AC所在的直線方程;
(2)求以AB、AC所在的直線為漸近線且過點D的雙曲線的方程;
(3)過D分別作AB、AC所在直線的垂線DF、DE(E、F為垂足),求
DE
DF
的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知定圓O1、O2的半徑分別為r1、r2,圓心距|O1O2|=2,動圓C與圓O1、O2都相切,圓心C的軌跡為如圖所示的兩條雙曲線,兩條雙曲線的離心率分別為e1、e2,則
e1+e2
e1e2
的值為(  )
A、r1+r2
B、r1和r2中的較大者
C、r1和r2中的較小者
D、|r1-r2|

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科目:高中數學 來源:2007年江蘇省丹陽高級中學高三模擬試題一、數學 題型:013

如圖所示,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC上的高分別為BD、AE,則以A、B為焦點,且過D、E的橢圓與雙曲線的離心率的倒數和為

[  ]

A.

B.1

C.

D.2

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科目:高中數學 來源: 題型:

(08年鄞州中學模擬理)(15分) 在面積為9的中,,且。現建立以A點為坐標原點,以的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標系,如圖所示。

(1)   求AB、AC所在的直線方程;

(2)   求以AB、AC所在的直線為漸近線且過點D的雙曲線的方程;

(3)過D分別作AB、AC所在直線的垂線DF、DE(E、F為垂足),求的值。

 

 

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