Question

【題目】已知函數．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）函數在區間上有零點，求的值；

（3）記函數，設是函數的兩個極值點，若，且恒成立，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據導數幾何意義求出切線斜率，由解析式求得切點坐標，從而得到切線方程；（2）由導數可得函數單調性，利用零點存在性定理可判斷出在上有零點，從而得到結果；（3）整理出，可知為的兩根，從而得到，；根據的范圍可確定的范圍后，將兩式代入進行整理；構造函數，，利用導數可求得函數的最小值，該最小值即為的最大值.

（1）由題意得：

，

曲線在處切線為：，即

（2）由（1）知：

當時，；當時，

在上單調遞減，在上單調遞增

又，，

由零點存在定理知：在上有一個零點

在上單調遞增 該零點為上的唯一零點

（3）由題意得：

為的兩個極值點，即為方程的兩根

，

，又，解得：

令，

則

在上單調遞減

即

即實數的最大值為：