Question

已知函數g（x）=

3

4

-

1

2

sinxcosx-

3

2

sin2x，將其圖象向左移

π

4

個單位，并向上移

1

2

個單位，得到函數f(x)=acos2(x+φ)+b(a＞0，b∈R，|φ|≤

π

2

)的圖象．
（1）求實數a，b，φ的值；
（2）設函數φ（x）=g（x）-

3

f(x)，x∈[0，

π

2

]，求函數φ（x）的單調遞增區間和最值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函數以及兩角和的正弦函數，通過函數的圖象變換，利用變換后的是的表達式，求實數a，b，φ的值；
（2）求出函數φ（x）=g（x）-

3

f(x)，x∈[0，

π

2

]的表達式，利用正弦函數的單調增區間求出函數的單調增區間，通過增區間求解函數的最值．

解答：解：（1）依題意g（x）=

3

4

-

1

2

sinxcosx-

3

2

sin2x=

3

4

cos2x-

1

4

sin2x=

1

2

sin(

π

3

-2x)，
∴g(x)=

1

2

sin(

π

3

-2x)，將其圖象向左移

π

4

個單位，并向上移

1

2

個單位，得：

f(x)= 1 2 sin( π 3 -2(x+ π 4 ))+ 1 2 = 1 2 sin(-2x- π 6 )+ 1 2 = 1 2 cos(2x+ 2π 3 )+ 1 2 =cos2(x+ π 3 )

∵f（x）=acos²（x+φ）+b
∴a=1，b=0
（2）φ（x）=g（x）-

3

f（x）
=

1

2

sin（2x+

2π

3

）-

3

2

cos（2x+

2π

3

）-

3

2

=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：x∈[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z
∵x∈[0，

π

2

]，
∴φ（x）的單調增區間為[0，

π

12

]，
當x=

π

12

時，函數的最大值為：1-

3

2

，
當x=

π

2

時，函數的最小值為：-

3

，
函數的值域為：[-

3

，1-

3

2

]．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，兩角和與差的三角函數以及二倍角公式的應用，正弦函數的單調性與函數的最值，考查計算能力．