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已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)的圖像與x軸有兩個不同的交點A、B,且f(1)=0.

(1)求的范圍;

(2)證明＜|AB|＜3.

解析：由已知條件的相互制約求出的范圍,并用表示出|AB|的值,求出范圍.

(1)解:∵f(1)=0,∴a+b+c=0,b=-a-c.

若a＜0,由a＞b＞c知b＜0,c＜0.

∴a+b+c＜0與a+b+c=0矛盾.

又a≠0,∴a＞0.同理可證c＜0.

由a＞-a-c＞c,得

∴-2＜＜.

(2)證明:ax2+bx+c=ax2-(a+c)x+c=(ax-c)(x-1)=0,

∴xA=,xB=1或xA=1,xB=.

∴|AB|=|xA-xB|=|-1|=1.

由(1)知-2＜＜,

∴1+＜1＜1+2,

即＜|AB|＜3.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域為（-1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實數m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f(x)=ax2+bx+c，函數y=f(x)+
2
3
x-1的圖象過原點且關于y軸對稱，記函數 h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當a=
1
10
時，求函數y=h(x)的單調遞減區間；
（Ⅲ）試討論函數 y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不相等的實根，當a＞0時判斷f（x）在（-1，1）上的單調性；
（3）若方程g（x）=x的兩實根為x1，x2f（x）=0的兩根為x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f(x)=
-x2-x+2
的定義域為A，若對任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，則實數k的最小值為
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不相等的實根，當a＞0時判斷f（x）在（-1，1）上的單調性；
（3）當b=2a時，問是否存在x的值，使滿足-1≤a≤1且a≠0的任意實數a，不等式f（x）＜4恒成立？并說明理由．

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