Question

設a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數，
（1）求a的值；
（2）若x∈（0，+∞）時，此時函數f（x）的圖象上是否存在兩點，使這兩點的連線與軸平行？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得：f（-x）=f（x）在R上恒成立，即等價于(a-

1

a

)(ex-

1

ex

)在R上恒成立，進而求出答案．
（2）根據函數單調性的定義可得：函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，所以函數f（x）的圖象上是不存在兩點，使這兩點的連線與軸平行．

解答：解：（1）因為f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數，
所以f（-x）=f（x）在R上恒成立，
所以

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，
等價于(a-

1

a

)(ex-

1

ex

)在R上恒成立，
所以a=1．
（2）設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則有f(x2)-f(x1)=(ex2-ex1)+

ex2-ex1

ex1ex2

由于e＞1，且x₁＜x₂，
所以f（x₂）＞f（x₁），
函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
若x∈（0，+∞）時，函數f（x）的圖象上是不存在兩點，使這兩點的連線與軸平行

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數的奇偶性與單調性，并且熟練利用定義證明或者判定函數的這些性質．