Question

(廣告費與收益)某集團為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經調查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加的銷售額約為－t²＋5t(百萬元)(0≤t≤5)

(1)若該公司將當年的廣告費控制在三百萬元之內，則應投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？

(2)現該公司準備共投入300萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經預測，每投入技術改造費x(百萬元)，可增加的銷售額約為＋x²＋3x(百萬元)．請設計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大？(注：收益＝銷售額－投入)．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)設投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有 　　f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t 　　＝－(t－2)2＋4(0＜t≤3) 　　∴當t＝2百萬元時，f(t)取得最大值4百萬元．即投入2百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大． 　　(2)設用于技術改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬元)，又設由此獲得的收益是g(x)，則有g(x)＝(＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝＋4x＋3(0≤x≤3) 　　∴(x)＝－x2＋4 　　令(x)＝0解得x＝－2(舍去)若x＝2 　　又當0≤x＜2時，(x)＞0 　　當2＜x≤3時，(x)＜0 　　故g(x)在[0，2]上是增函數，在[2，3]上是減函數． 　　所以x＝2時，g(x)取最大值，即將2百萬元用于技術改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．