Question

已知數列{a_n}滿足a₁=2，an+1=

2an-1

an

 (n∈N+)
（1）證明{

1

an-1

}為等差數列，并求a_n；
（2）若cn=(an-1)•(

8

7

)n，求數列{c_n}中的最小值．
（3）設f(n)=

nan+4     n為奇數 3 an-1 +2  n為偶數

（n∈N⁺），是否存在m∈N⁺使得f（m+15）=5f（m）成立？

Answer 1

分析：（1）由題意可得對于原等式兩邊同時減1，并且整理取倒數可得：

1

an+1-1

=1+

1

an-1

，進而得到 {

1

an-1

}是等差數列，并且得到 an=1+

1

n

．
（2）由（1）可得：cn=

1

n

×(

8

7

)n，根據題意設{c_n}中最小者為c_m，則有 

cm≤cm+1 cm≤cm-1

，解得 

m≥7 m≤8

，進而得到答案．
（3）由已知得f(n)=

n+5 3n+2

n為奇數 n為偶數

，再分別同理m為奇數、偶數代入表達式，進而求出m的值即可得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：an+1-1=

2an-1

an

-1=

an-1

an

，
所以 

1

an+1-1

=

an

an-1

=1+

1

an-1

…（2分）
所以 {

1

an-1

}是首項為

1

a1-1

=1，公差為1的等差數列，
并且 

1

an-1

=1+(n-1)×1=n，
所以可得：an=1+

1

n

…（4分）
（2）由（1）可得：cn=

1

n

×(

8

7

)n，根據題意設{c_n}中最小者為c_m
所以有 

cm≤cm+1 cm≤cm-1

，即 

1 m ×( 8 7 )m≤ 1 m+1 ×( 8 7 )m+1 1 m ×( 8 7 )m≤ 1 m-1 ×( 8 7 )m-1

…（6分）
解得 

m≥7 m≤8

…（8分）
所以{c_n}中最小值為c7=c8=

87

78

…（9分）
（3）由已知得f(n)=

n+5 3n+2

n為奇數 n為偶數

…（10分）
①當m為奇數時，m+15為偶數，則 有f（m+15）=5f（m），
所以由題意可知：3（m+15）+2=5（m+5），解得 m=11…（12分）
②當m為偶數時，m+15為奇數，則 有（m+15）+5=5（3m+2），所以解得m=

5

7

（舍去），
故存在m=11使得等式成立…（13分）

點評：本題主要考查等差關系的確定與求等差數列的通項公式，以及求數列的最大項等基礎問題，此題屬于中檔題型，高考經常涉及．