Question

10．已知0＜a＜1，函數f（x）=log_ax．
（1）若f（5a-1）≥f（2a），求實數a的最大值；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，設g（x）=f（x）-3^x+2m，若函數g（x）在（1，2）上有零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據對數函數的性質得到關于a的不等式組，解出即可；
（2）根據g（x）的單調性得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）∵0＜a＜1，
∴0＜5a-1≤2a，
∴$\frac{1}{5}$＜a≤$\frac{1}{3}$，
∴a的最大值是$\frac{1}{3}$；
（2）g（x）在（0，+∞）遞減，
∵g（x）在（1，2）上有零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=-3+2m＞0}\\{g（2）=-1-9+2m＜0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{3}{2}$＜m＜5，
故m的范圍是（$\frac{3}{2}$，5）．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查對數函數的性質，是一道中檔題．