Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，且函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）的最小值為1

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，討論的取值范圍，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

（2）解法一：?jiǎn)栴}等價(jià)于只有一個(gè)交點(diǎn)，令，可得，記，討論的取值，確定方程根的個(gè)數(shù)即可求解；解法二：?jiǎn)栴}等價(jià)于只有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，令，則，記，作出函數(shù)和函數(shù)的圖像，利用圖像的交點(diǎn)即可求解.

解：（1）由題意可知，.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）解法一：由題意可知，且.

令，

則.

記，（*）

當(dāng)時(shí)，，與相矛盾，此時(shí)（*）式無解；

當(dāng)時(shí)，無解；

當(dāng)時(shí)，（*）式的解為，此時(shí)有唯一解；

當(dāng)時(shí)，

，

所以（*）式只有一個(gè)負(fù)根，有唯一解，故的最小值為1.

解法二：由題得，

令，則.

再令，則.

記，

函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖所示：

當(dāng)，即時(shí)，顯然不成立；

當(dāng)，即時(shí)，由，得方程存在唯一解，且.

此時(shí)亦存在唯一解.

綜上，的最小值為1.