Question

考察以下命題：
①若|a|＜1，則無窮數列{a_n} n∈N^*，各項的和為

a

a-1

②函數y=

3	x

在R上連續可導；
③函數y=

e-x-1(x≤0) 2ax(x＞0)

在R上連續
④函數y=x³+3ax²+3bx在x=0個有極值的充要條件是a≠0，b=0
其中真命題的序號為

③④

．

Answer 1

分析：①當a=0時不符合題意．②因為y′=

1

3

x-

2

3

，所以函數在x=0處得導數不存在．③由題意可得函數在每一段上連續，當x=0時，e^-x-1=0，2ax=0．④由題得：y′|x=0=0，并且在x=0兩邊的符號不同，所以a≠0，b=0．

解答：解：①當a=0時不符合題意，所以①錯誤．
②因為函數y=

3	x

，所以y′=

1

3

x-

2

3

，所以函數在x=0處得導數不存在，所以②錯誤．
③由題意可得函數在每一段上連續，又因為當x=0時，e^-x-1=0，2ax=0，所以函數連續，所以③正確．
④由題得：y′=3x²+2ax+3b，因為函數在x=0個有極值，所以y′|x=0=0，并且在x=0兩邊的符號不同，所以a≠0，b=0，所以④正確．
故答案為：③④．

點評：積極此類問題的關鍵是數列掌握無窮遞縮等比數列，以及函數的連續性與 函數在某點取得極值的充要條件．