Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，直角梯形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，∠CBA=90°，AB=BC=2，AD=EF=1．
（1）證明：AF⊥平面CBF；
（2）設平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為V_F-ABCD、V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE．

Answer 1

分析：（1）根據面面垂直的性質，結合題意可證出CB⊥平面ABEF，從而有AF⊥BC，由圓直徑的性質得到AF⊥BF，再根據線面垂直的判定定理，得到AF⊥平面CBF．
（2）過點F作FG⊥AB于G，可得FG即為四棱錐F-ABCD的高，用錐體體積公式結合題中數據可算出四棱錐F-ABCD的體積為FG，再用體積轉換算出三棱錐F-CBE的體積為

1

3

FG，從而得到四棱錐F-ABCD與三棱錐F-CBE的體積之比．

解答：解：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，CB⊆平面ABCD，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABEF，（2分）
∵AF⊆平面ABEF，AF⊥BC．（3分）
∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，（4分）
又∵CB∩BF=B，
∴AF⊥平面CBF．（6分）
（2）過點F作FG⊥AB于G，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，FG⊆平面ABEF，FG⊥AB，
∴FG⊥平面ABCD，
∴V_F-ABCD=

1

3

×

1

2

×（1+2）×2×FG=FG，（8分）
而V_F-BCE=V_C-BEF=

1

3

S_△BEF×CB=

1

3

×

1

2

×FG×2=

1

3

FG，（10分）
由此可得V_F-ABCD：V_F-CBE=3：1（12分）

點評：本小題主要考查立體幾何的相關知識及空間想象能力，具體應用到線面垂直的判定定理與面面垂直的性質定理以及體積求法等知識，屬于中檔題．