Question

已知數列{a_n}滿足條件a₀=1，a_n=p |a_n-1|-1，(n∈N*，p為常數，且0＜p＜1

　　(1)求證：不等式＜a_n＜0對一切n成立．

 

　　(2)求a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表達式，并給予證明．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當n=1時，a1=p|a0|-1=p-1 　　∵　0＜p＜1，，，∴　，結論成立． 　　假設，則當n=k+1時，ak+1=p|ak|-1=-pak-1 ∵　， ∴　0＜-pak＜1，-1＜-pak-1＜0 　　∴　又，∴　，∴　當n=k+1時也成立． 　　綜上所述，對一切n(n∈N*)自然數都有 　　(2)∵　a1=p-1，a2=-1+p-p2，a3=-1+p-p2+p3 　　可猜想(n∈N*) 　　證明：當n=1時，，成立． 　　假設n=k時，，那么： 　　 　　∴　當n=k+1時也成立，則對n∈N*都有