Question

（2007•東城區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=

2(x＞0) x2+bx+c(x≤0)

，若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，則f（x）的解析式為f（x）=

f（x）=

2(x＞0) x2+4x+2(x≤0)

，關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)為

3

．

Answer 1

分析：利用待定系數(shù)法求解．先由x≤0時(shí)的解析式f（x）=x²+bx+c，再根據(jù)f（-4）=f（0），f（-2）=-2，列方程組即可解得f（x）的解析式．方程解的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)y=f（x），y=x交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象即可得到本題的結(jié)論．

解答：解：x≤0時(shí)的解析式f（x）=x²+bx+c，
則有：

16-4b+c=c 4-2b+c=-2

得：

b=4 c=2

∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=

2(x＞0) x2+4x+2(x≤0)

．
關(guān)于x的方程：f（x）=x解的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)y=f（x），y=x交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：
由函數(shù)的圖象可知，兩個(gè)函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以方程有3個(gè)解；
故答案為：f（x）=

2(x＞0) x2+4x+2(x≤0)

；3．

點(diǎn)評：本題主要考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查了函數(shù)的表示方法-解析式法，以及待定系數(shù)法，屬于基礎(chǔ)題．