Question

設動點P到點A(-1，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常數λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂sin²θ=λ，
（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點，試確定λ的范圍，使=0，其中點O為坐標原點．

Answer 1

解：（1）在△PAB中，|AB|=2，即，
，
即（常數），
點P的軌跡C是以A，B為焦點，實軸長的雙曲線，
方程為：．
（2）設，
①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，
M（1，1），N（1，-1）在雙曲線上，
即，
因為0＜λ＜1，所以；
②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k（x-1），
由得：，
由題意知：，
所以，
于是：，
因為，且M，N在雙曲線右支上，
所以，
由①②知，。