Question

設x，y滿足約束條件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，則log3(

1

a

+

2

b

)的最小值為（　　）

A．1

B．3

C．2

D．4

Answer 1

分析：作出x、y滿足約束條件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

的圖象，由圖象判斷最優解，令目標函數值為6，解出a，b的方程，再由基本不等式求出

1

a

+

2

b

的最小值，代入求解即可．

解答：解：由題意、y滿足約束條件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

的圖象如圖
目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6
從圖象上知，最優解是（2，4）
故有2a+4b=6
∴

1

a

+

2

b

=

1

6

（2a+4b）(

1

a

+

2

b

)=

1

6

（10+

4b

a

+

4a

b

）≥

1

6

×（10+2

4b a × 4a b

）=3，等號當且僅當

4b

a

=

4a

b

時成立
故log 3(

1

a

+

2

b

)的最小值為log₃3=1
故選A．

點評：本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題．要求能準確地畫出不等式表示的平面區域，并且能夠求得目標函數的最值．