Question

設圓x²+y²=1的切線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于點A，B，當|AB|取最小值時，切線l的為

x+y-

2

=0

．

Answer 1

分析：設出A與B的坐標，根據題意表示出切線l的截距式方程，并利用兩點間的距離公式表示出|AB|，由圓的標準方程找出圓心坐標及半徑r，根據直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關系式，整理后得到

1

a2

+

1

b2

=1，可將|AB|²表示為（a²+b²）（

1

a2

+

1

b2

），去括號化簡后根據基本不等式可得出|AB|取得最小值時a與b的值，即可確定出此時切線l的方程．

解答：解：設A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
則切線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，|AB|=

a2+b2

，
由圓的方程x²+y²=1，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=1，
∴圓心到切線l的距離d=r，即

1

( 1 a )2+( 1 b )2

=1，
變形得：

1

a2

+

1

b2

=1，
則|AB|²=（a²+b²）（

1

a2

+

1

b2

）=2+

b2

a2

+

a2

b2

≥4，
當且僅當a=b=

2

時，上式取等號，故|AB|_min=2，
此時切線l的方程為x+y-

2

=0．
故答案為：x+y-

2

=0

點評：此題考查了圓的切線方程，涉及的知識有：直線的截距式方程，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，圓的標準方程，以及基本不等式的運用，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．