Question

如圖，已知曲線C₁：y=x³(x≥0)與曲線C₂：y=-2x³+3x(x≥0)交于點O、A，直線x=t(0＜t＜1)與曲線C₁、C₂分別相交于點B、D，
（Ⅰ）寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數關系S=f(t)；
（Ⅱ）討論f(t)的單調性，并求f(t)的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得交點O、A的坐標分別是（0，0），（1，1），
f(t)=S_△ABD+S_△OBD=|BD|·|1-0|=|BD|=(-3t³+3t)，
即f(t)=-(t³-t)，(0＜t＜1)。
（Ⅱ）f＇(t)=-t²+，令f＇(t)=0，解得t=，
當0＜t＜時，f＇(t)＞0，從而f(t)在區間（0，）上是增函數；
當＜t＜1時，f＇(t)＜0，從而f(t)在區間（，1）上是減函數；
所以當t=時，f(t)有最大值為f()=。