Question

已知函數f(x)=

1

4x+2

(x∈R)．
（Ⅰ）證明f(x)+f(1-x)=

1

2

；
（Ⅱ）若數列{a_n}的通項公式為an=f(

n

m

)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求數列{a_n}的前m項和S_m；
（Ⅲ）設數列{b_n}滿足：b1=

1

3

，bn+1=

b

2 n

+bn，設Tn=

1

b1+1

+

1

b2+1

+…+

1

bn+1

，若（Ⅱ）中的S_m滿足對任意不小于2的正整數n，S_m＜T_n恒成立，試求m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數表達式證明f(x)+f(1-x)=

1

2

，只需要把函數表達式代入然后化解即可．
（Ⅱ）由1中證明的結果f(x)+f(1-x)=

1

2

代入通項公式推得ak+am-k=

1

2

，然后根據前n項和與通項的關系求得數列{a_n}的前m項和S_m．
（Ⅲ）由數列b_n滿足的條件求得Tn=(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)++(

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

b1

-

1

bn+1

=3-

1

bn+1

再用（Ⅱ）中的S_m滿足S_m＜T_n恒成立，直接代入求解．

解答：（Ⅰ）證明：∵f(x)=

1

4x+2

，
∴f(1-x)=

1

41-x+2

=

4x

4+2•4x

=

4x

2(4x+2)

，
∴f(x)+f(1-x)=

1

4x+2

+

4x

2(4x+2)

=

2+4x

2(4x+2)

=

1

2

．
故答案為

1

2

．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知f(x)+f(1-x)=

1

2

，
∴f(

k

m

)+f(1-

k

m

)=

1

2

(1≤k≤m-1)，
即f(

k

m

)+f(

m-k

m

)=

1

2

．
∴ak+am-k=

1

2

，
am=f(

m

m

)=f(1)=

1

6

，
又S_m=a₁+a₂++a_m-1+a_m①S_m=a_m-1+a_m-2++a₁+a_m②
①+②得2Sm=(m-1)×

1

2

+2am=

m

2

-

1

6

，
∴答案為Sm=

1

12

(3m-1)；
（Ⅲ）解：∵b1=

1

3

，bn+1=

b

2 n

+bn=bn(bn+1)③
∴對任意n∈N^*，b_n＞0④

1

bn+1

=

1

bn(bn+1)

=

1

bn

-

1

bn+1

，
∴

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，
∴Tn=(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)++(

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

b1

-

1

bn+1

=3-

1

bn+1

∵b_n+1-b_n=b_n²＞0，∴b_n+1＞b_n．
∴數列{b_n}是單調遞增數列．∴T_n關于n遞增，
∴當n≥2，且n∈N^*時，T_n≥T₂．
∵b1=

1

3

，b2=

1

3

(

1

3

+1)=

4

9

，b3=

4

9

(

4

9

+1)=

52

81

，
∴Tn≥T2=3-

1

b3

=

75

52

．（14分）
由題意Sm＜

75

52

，即

1

12

(3m-1)＜

75

52

，
∴m＜

238

39

=6

4

39

∴m的最大值為6．
故答案為6．

點評：此題主要考查數列求和和數列恒成立的問題，屬于綜合性題目難度較大，計算量要求較高，需要仔細分析．