Question

已知曲線C：y=x²與直線l：x-y+2=0交于兩點A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B。記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區域（含邊界）為D。設點P（s，t）是L上的任一點，且點P與點A和點B均不重合，
（1）若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程；
（2）若曲線G：x²-2ax+y²-4y+a²+=0與點D有公共點，試求a的最小值。

Answer 1

解：（1）聯立y=x²與y=x+2得，
則AB中點，
設線段PQ的中點M坐標為（x，y），
則，
又點P在曲線C上，
∴，
化簡可得，
又點P是L上的任一點，且不與點A和點B重合，
則，
∴中點M的軌跡方程為。
（2）曲線G：，
即圓E：，其圓心坐標為E（a，2），半徑，
由圖可知，當時，曲線G：與點D有公共點；
當a＜0時，要使曲線G：與點D有公共點，
只需圓心E到直線l：x-y+2=0的距離，得，
則a的最小值為。