Question

已知各項均為正數的等比數列{a_n}中，a₁=1，a₃=4．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設b_n=

5

2

+log2an，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（III）比較

1

2

n3+2（n∈N^*）與（II）中S_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由條件根據關于正數的等比數列的通項公式可得 4=1×q²，可得q的值，由此求得等比數列{a_n}的通項公式．
（II）先求得b_n=

5

2

+log2an=n+

3

2

，可得數列{b_n}為等差數列，且公差為1，首項為

5

2

，由此求得數列{b_n}的前n項和S_n ．
（III）當n=1，或n=2時，經過檢驗，

1

2

n3+2（n∈N^*）與

1

2

n（n+4）相等； 當n=3時，經過檢驗，

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4）．可得當n≥3時，有

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4），
該結論得出的依據是：當自變量的取值較大時，三次函數的增長速度大于二次函數的增長速度．

解答：解：（I）已知各項均為正數的等比數列{a_n}中，a₁=1，a₃=4，設公比為q，則由4=1×q²，可得q=2．
故等比數列{a_n}的通項公式為 a_n=1×2^n-2=2^n-1．
（II）由于 b_n=

5

2

+log2an=

5

2

+（n-1）=n+

3

2

，數列{b_n}為等差數列，且公差為1，故此數列的前n項和S_n =

n[ 5 2 +(n+ 3 2 )]

2

=

1

2

n（n+4）．
（III）當n=1，或n=2時，經過檢驗，

1

2

n3+2（n∈N^*）與

1

2

n（n+4）相等，當n=3時，經過檢驗，

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4）．
故當n≥3時，

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4）．
這是因為當n比較大時，函數

1

2

n3+2 的增長速度大于S_n =

1

2

n（n+4）的增長速度．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式、等差數列的前n項和公式的應用，數列的函數特性，屬于中檔題．