Question

（2012•武昌區模擬）已知函數f(x)=2

3

sinxcosx-2co

s

2

x+2．
（ I）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若f（x）-m＜2對一切x∈[0，

π

2

]均成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用降冪公式，再利用輔助角公式化簡函數，再整體思維，利用正弦函數的單調增區間，即可求得結論．
（Ⅱ）由f（x）-m＜2，得m+2＞f（x）對一切x∈[0，

π

2

]均成立，確定函數的最大值，即可求得實數m的取值范圍范圍．

解答：解：f(x)=

3

sin2x-cos2x+1=2sin(2x-

π

6

)+1．
（Ⅰ）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
所以，f（x）的遞增區間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．        …（5分）
（Ⅱ）由f（x）-m＜2，得m+2＞f（x）對一切x∈[0，

π

2

]均成立．
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，∴0≤f（x）≤3．
∴m+2＞3，∴m＞1．
所以實數m的取值范圍范圍為（1，+∞）．      …（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查函數的單調增區間，考查恒成立問題，正確化簡函數，整體思維是關鍵．