Question

選修4-5：不等式選講．
若a，b，c均為正數，且a+b+c=6，

2a

+

2b+1

+

2c+3

≤|x-2|+|x-m|對任意x∈R恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：利用平均值不等式求得

2a

+

2b+1

+

2c+3

≤4

3

，由絕對值的性質可得|x-2|+|x-m|≥|m-2|，結合題意可得|m-2|≥4

3

，由此求得m的范圍．

解答：解：(

2a

+

1+2b

+

3+2c

)2=(1×

2a

+1×

2b+1

+1×

2c+3

)2≤(12+12+12)(2a+2b+1+2c+3)=3（2×6+4）=48．
∴

2a

+

1+2b

+

3+2c

≤4

3

．
當且僅當

2a

=

2b+1

=

2c+3

即2a=2b+1=2c+3時等號成立．
又a+b+c=6，∴a=

8

3

，b=

13

6

，c=

7

6

時，

2a

+

2b+1

+

2c+3

有最大值4

3

．
∴|x-2|+|x-m|≥4

3

．對任意的x∈R恒成立．
∵|x-2|+|x-m|≥|（x-2）-（x-m）|=|m-2|，
∴|m-2|≥4

3

，解得m≤2-4

3

．或m≥2+4

3

．

點評：本題主要考查平均值不等式的應用，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．