Question

函數在[1，+∞）上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由函數在[1，+∞）上是增函數可以得到兩個信息：
①對任意的1≤x₁＜x₂，總有f（x₁）＜f（x₂）；
②當x≥1時，恒成立．
解答：解：∵函數在[1，+∞）上是增函數，
∴對任意的1≤x₁＜x₂，有f（x₁）＜f（x₂），
即，
得，即，
∵x₁-x₂＜0，∴，，a＞-x₁x₂，
∵x₂＞x₁≥1，∴要使a＞-x₁x₂恒成立，只要a≥1；
又∵函數在[1，+∞）上是增函數，∴1+8-a＞0，
即a＜9，綜上a的取值范圍為[-1，9）．

另解：（用導數求解）令，
函數在[1，+∞）上是增函數，
∴在[1，+∞）上是增函數，，
∴1+8-a＞0，且在[1，+∞）上恒成立，得-1≤a＜9．
點評：本題主要考查對數函數的單調性，即當底數大于1是對數函數單調遞增，當底數大于0小于1時對數函數單調遞減．