Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC的中點，AD=2，AB=1，SP與平面ABCD所成角為45°．
（1）求證：PD⊥平面SAP；
（2）求三棱錐S-APD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用勾股定理證明AP⊥PD，由 SA⊥底面ABCD，可得SA⊥PD，所以PD⊥平面SAP．
（2）利用SA⊥底面ABCD，則SA為三棱錐S-APD的高，再由（1）知，S_△APD的面積，再利用三棱錐S-APD的體積為

1

3

×S_△APD×SA，可得結論．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，
∵AD=2，P為BC邊的中點，∴BP=1，
又∵AB=1，∴AP=PD=

2

∵AD=2，∴AD²=AP²+PD²，∴AP⊥PD，
∵SA⊥底面ABCD，PD?底面ABCD，∴SA⊥PD．
∵SA∩AP=A，AP⊥PD，SA⊥PD
∴PD⊥平面SAP
又∵PD?平面SPD，
∴平面SPD⊥平面SAP；
（2）解：∵SA⊥底面ABCD，
∴SA即為三棱錐S-APD的高，
∵SP與平面ABCD所成角為45°．
∴SA=AP=

2

由（1）知，AP⊥PD，
則S_△APD=

1

2

AP•PD
故三棱錐S-APD的體積=

1

3

×S_△APD×SA
=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

=

2

3

．

點評：本題考查線面、面面垂直，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．