Question

已知函數f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1）的圖象如圖所示，數列{a_n}的前n項的和S_n=aⁿ⁺¹+b、T_n為數列{b_n}的前n項的和．且
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）找出所有滿足：a_n+b_n+8=0的自然數n的值（不必證明）；
（3）若不等式S_n+b_n+k≥0對于任意的n∈N*．n≥2恒成立，求實數k的最小值，并求出此時相應的n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得：，解得S_n=2ⁿ⁺¹-2，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，由此推導出{b_n}．
（2）由題意可得：a_n+b_n+8=2ⁿ-20n+12，而方程2ⁿ=20n-12只有n=7滿足條件．故當n=7時，a_n+b_n+8=0．
（3）由題得2ⁿ⁺¹-20n+4+k≥0對于一切n∈N*．n≥2恒成立，即k≥-2ⁿ⁺¹+20n-2，令f（n）=-2ⁿ⁺¹+20n-2（n∈N*．n≥2），由此推導出當n=4時，k的最小值為46．
解答：解：（1）由題意得：
解之得：，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ
當n=1時，a₁=S₁=2符合上式故a_n=2ⁿ，n∈N*．（2分）
b_n=T_n-T_n-1=4-20n
當n=1時，b₁=T₁=2，b₂=T₂-T₁=-52不符合上式．
故．（4分）

（2）當n=1時．a₁=b₁=2、且a₁+b₁+8≠0不合．
由題意可得：a_n+b_n+8=2ⁿ-20n+12
而方程2ⁿ=20n-12只有n=7滿足條件．
故當n=7時，a_n+b_n+8=0（6分）
（3）由題得：S_n+b_n+k≥0，
∴2ⁿ⁺¹-20n+4+k≥0對于一切n∈N*．n≥2恒成立
即k≥-2ⁿ⁺¹+20n-2（8分）
令f（n）=-2ⁿ⁺¹+20n-2（n∈N*．n≥2）
則=f（n+1）-f（n）=-2ⁿ⁺¹+20（10分）
當n＜4時，f（n+1）＞f（n）；
當n≥4時．f（n+1）＜f（n）
而f（3）=-2⁴+60-2=42，f（4）=-2⁵+80-2=46
∴k≥46
故當n=4時，k的最小值為46．（14分）
點評：本題考查數列和不等式的綜合應用題，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．