Question

（I）設a＞0，b＞0求證：a³+b³≥a²b+ab²
（II）設a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c不且相等，求證：．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵a³+b³-a²b-ab²=a²（a-b）-b²（a-b）=（a-b）²（a+b），
又a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，（a-b）²≥0，
∴（a-b）²（a+b）≥0，
∴a³+b³≥a²b+ab²；
（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴≥，≥，≥，
∴lg≥lg=（lga+lgb）①，同理可得lg≥（lab+lgc）②，lg≥（lga+lgc）③，
①+②+③得：

又a，b，c不全相等，
∴．
分析：（Ⅰ）a³+b³≥a²b+ab²?a³+b³-a²b-ab²≥0?（a-b）²（a+b）≥0，結合a＞0，b＞0，問題即可解決；
（Ⅱ）a＞0，b＞0，c＞0，?≥，≥，≥，于是lg≥lg=（lga+lgb），同理可得lg≥（lab+lgc），lg≥（lga+lgc），又a，b，c不且相等，同向不等式相加即可．
點評：本題考查不等式的證明，著重考查證明不等式的方法：作差法與綜合法，注重基本不等式性質的應用，屬于中檔題．