Question

已知函數f（x）=

k2x+k(1-a2) ， x≥0 x2+(a2-4a)x+(3-a)2， x＜0

，其中a∈R．若對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，則k的取值范圍是

（-∝，0）∪[8，+∝）

．

Answer 1

分析：由于函數f（x）是分段函數，且對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0時，f（x）=k（1-a²），進而得到，關于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有實數解，即得△≥0，解出k即可．

解答：解：由于函數f（x）=

k2x+k(1-a2) ， x≥0 x2+(a2-4a)x+(3-a)2， x＜0

，其中a∈R，
則x=0時，f（x）=k（1-a²），
又由對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立
∴函數必須為連續函數，即在x=0附近的左右兩側函數值相等，
∴（3-a）²=k（1-a²）（k≠0）即（k+1）a²-6a+9-k=0有實數解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k＜0或k≥8
故答案為 （-∞，0）∪[8，+∞）．

點評：本題考查了二次函數的性質，通過圖象比較函數值的大小，數形結合有助于我們的解題，形象直觀．