Question

已知函數f（x）=x²+3x，數列{a_n}的前n項和為S_n，且對一切正整數n，點P_n（n，S_n）都在函數f（x）的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=2（a_n-1），n∈N*}，等差數列{b_n}的任一項b_n∈A∩B，其中b₁是A∩B中最的小數，且88＜b₈＜93，求{b_n}的通項公式；
（3）設數列{c_n}滿足c_n+2-c_n=a₁，且c₁=c，c₂=a₂-c，若數列{c_n}為單調遞增數列，求實數c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+3x的圖象上，∴．
當n≥2時，，
當n=1時，a₁=S₁=4，也滿足上式．
故a_n=2n+2．
（2）∵A={x|x=2n+2，n∈N^*}，B={x|x=4n+2，n∈N^*}，∴A∩B=B，
又∵b_n∈A∩B，∴b_n∈B即數列{b_n}的公差是4 的倍數
又A∩B中的最小數為6，∴b₁=6，∴b₈=4k+6，k∈N^*，
又∵88＜b₈＜93
∴，解得k=21．
設等差數列{b_n}的公差為d，由b₈=6+7d=90得d=12
故b_n=12n-6
（3）由a_n=2n+2知c_n+2-c_n=4，即數列{c_2k-1}和{c_2k}分別是以c₁=c，c₂=6-c為首項，4為公差的等差數列
所以c_2k-1=c+4k-4，c_2k=c₂+4（k-1）=4k-c+2，c_2k+1=4k+c
∵數列{c_n}是單調遞增數列，∴c_2k-1＜c_2k＜c_2k+1對任意的k∈N^*成立．
∴，解得1＜c＜3
∴實數c的取值范圍是1＜c＜3
分析：（1）根據點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+3x的圖象上，可得，再寫一式，兩式相減，結合n=1時，a₁=S₁=4，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）先確定數列{b_n}的公差是4 的倍數，根據A∩B中的最小數為6，可得b₈=4k+6，利用88＜b₈＜93，可得k的值，進而可求等差數列{b_n}的公差，從而可得{b_n}的通項公式；
（3）由a_n=2n+2知c_n+2-c_n=4，即數列{c_2k-1}和{c_2k}分別是以c₁=c，c₂=6-c為首項，4為公差的等差數列，利用數列{c_n}是單調遞增數列，建立不等式，即可求得實數c的取值范圍．
點評：本題考查數列與函數的關系，考查數列的通項，考查數列的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．