Question

在△ABC中，三內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量

m

= (

3

，-1)，

n

=（cosA，sinA），若

m

⊥

n

，且acosB+bcosA=csinC，則A、B的大小分別是（　　）

• A．

  π

  6

  、

  π

  3

• B．

  2π

  3

  、

  π

  6

• C．

  π

  3

  、

  π

  6

• D．

  π

  3

  、

  π

  3

Answer 1

分析：由

m

•

n

=0可得sin（

π

3

-A）=0，從而求得A=

π

3

．再由acosB+bcosA=csinC利用正弦定理可得sin（

π

3

+B）=1，由此求得B的值．

解答：解：由題意可得

m

•

n

=(

3

，-1)•（cosA，sinA）=

3

cosA-sinA=2sin（

π

3

-A）=0，
再由A是三角形ABC的內角可得，0＜A＜π，∴

π

3

-A=0，故A=

π

3

．
再由acosB+bcosA=csinC可得sinA•cosB+sinBcosA=sin²C，
即

3

2

cosB+

1

2

sinB=sin2(

2π

3

-B)，即sin（

π

3

+B）=sin2(

π

3

+B)，
故sin（

π

3

+B）=1．
再由

π

3

＜

π

3

+B＜

2π

3

 可得

π

3

+B=

π

2

，B=

π

6

．
故選C．

點評：本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算，三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦定理的應用，屬于中檔題．