Question

設整數n≥4，在集合{1，2，3…，n}中，任取兩個不同元素a，b（a＞b），記A_n為滿足a+b能被2整除的取法種數．
（1）當n=6時，求A_n；
（2）求A_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中A_n為滿足a+b能被2整除的取法種數，我們易列舉出當n=6時，滿足條件的所有取法總數，進而得到答案；
（2）我們分當n為奇數時，和n為偶數時，兩種情況分別求出滿足條件的取法總數，即可得到A_n的表達式．

解答：解：（1）當n=6時，集合{1，2，3，4，5，6}中
任取兩個不同元素a，b（a＞b），其中a+b能被2整除的取法有
（1，3），（1，5），（2，4），（2，6），（3，5），（4，6）共6種
∴An=6
（2）當n為奇數時，集合{1，2，3…，n}中，共有

n+1

2

個奇數，

n-1

2

個偶數，
其中當a取奇數時，b也為奇數滿足要求，此時共有

C

2 n+1 2

種取法
當a取偶數時，b也為偶數滿足要求，此時共有

C

2 n-1 2

種取法
此時An=

C

2 n+1 2

+

C

2 n-1 2

=(

n-1

2

)2
當n為偶數時，集合{1，2，3…，n}中，共有

n

2

個奇數，

n

2

個偶數，
其中當a取奇數時，b也為奇數滿足要求，此時共有

C

2 n 2

種取法
當a取偶數時，b也為偶數滿足要求，此時共有

C

2 n 2

種取法
此時An=2•

C

2 n 2

=

n2-2n

4

故An=

( n-1 2 )2，n為奇數 n2-2n 4 ，n為偶數

點評：本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，分段函數解析式的求法，其中根據a+b能被2整除，得到a，b的奇偶性相同，進而分類討論出當n為奇數時，和n為偶數時，A_n的表達式是解答本題的關鍵．