Question

已知對于任意的實數a，b都有（a+b）²≤2（a²+b²）恒成立，則函數f（x）=|sinx|+|cosx|的值域是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意得f（x）＞0，利用條件求出f²（x）的范圍，即可得到f（x）的范圍．
解答：解：∵對于任意的實數a，b都有（a+b）²≤2（a²+b²）恒成立，函數f（x）=|sinx|+|cosx|＞0，
∴f²（x）=（|sinx|+|cosx|）²≤2[（|sinx|）²+（|cosx|）²]=2，
又∵f²（x）=（|sinx|+|cosx|）²=（|sinx|）²+（|cosx|）²+2|sinx|•|cosx|≥（|sinx|）²+（|cosx|）²=1，
∴1≤f²（x）≤2，∴1≤f（x）≤，∴函數f（x）=|sinx|+|cosx|的值域是[1，]．
故答案為：[1，]．
點評：本題考查求三角函數的最值的方法，根據f（x）＞0，利用條件求出f²（x）的范圍，即可得到f（x）的范圍，
體現了轉化的數學思想．