Question

（2013•寧德模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），動直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點，且∠AOB=90°（其中O坐標原點）．
（Ⅰ）若橢圓過點（2，0），且右焦點與短軸兩端點圍成等邊三角形．
（ⅰ）求橢圓C的方程；
（ⅱ）求點O到直線l的距離．
（Ⅱ）探究是否存在定圓與直線l總相切？若存在寫出定圓方程（不必寫過程），若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（ⅰ）由橢圓過點（2，0）可知a=2，由右焦點與短軸兩端點圍成等邊三角形得到c=

3

b，結合a²=b²+c²可求a，b，則橢圓方程可求；
（ⅱ）把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關于x的一元二次方程后利用根與系數關系得到A，B兩點的橫坐標的和與積，把∠AOB=90°轉化為

OA

•

OB

=0，代入坐標后結合根與系數關系可得直線的斜率和截距的關系，寫出點O到直線l的距離把斜率和截距的關系整體代入后可求距離；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中點O到直線l的距離的平方等于(

2 5

5

)2=

4

5

=

4×1

4+1

可知，存在以原點為圓心，以

a2b2 a2+b2

為半徑的圓與直線l總相切．

解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）依題意得：

a=2 c= 3 b a2=b2+c2

，解得a=2，b=1．
所以所求橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（ⅱ）聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
設A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則

△=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)＞0 x1+x2=- 8km 4k2+1 x1x2= 4m2-4 4k2+1

，
∵∠AOB=90°，即

OA

•

OB

=0，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=

(1+k2)(4m2-4)

4k2+1

-

8k2m2

4k2+1

+m2
=

5m2-4-4k2

4k2+1

=0．
得m2=

4(1+k2)

5

．
∴原點O到直線l的距離為d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

．
（Ⅱ）存在滿足條件的圓，其方程為x2+y2=

a2b2

a2+b2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了點到直線的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了一元二次方程中根與系數關系的應用，解答的關鍵是整體代入運算，考查了學生的計算能力，是中檔題．