Question

直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B.

(1)求實數k的取值范圍;

(2)是否存在實數k,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解析:(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后,整理得(k²-2)x²+2kx+2=0.  ①

依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點,故

解得k的取值范圍為-2＜k＜-.

(2)設A、B兩點的坐標分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂),則由①式得x₁+x₂=     ②

假設存在實數k,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F(c,0),則由FA⊥FB得(x₁-c)(x₂-c)+y₁y₂=0,

即(x₁-c)(x₂-c)+(kx₁+1)(kx₂+1)=0.

整理得(k²+1)x₁x₂+(k-c)(x₁+x₂)+c²+1=0,                                          ③

把②式及c=代入③式化簡得5k²+2k-6=0.

解得k=-或k=(-2,-)(舍去).

可知k=-使得以線段AB為直線的圓經過雙曲線C的右焦點.