Question

某公司生產一種產品的固定成本為0.5萬元，但每生產100件需再增加成本0.25萬元，市場對此產品的年需求量為500件，年銷售收入（單位：萬元）為R（t）=5t-

t2

2

（0≤t≤5），其中t為產品售出的數量（單位：百件）．
（1）把年利潤表示為年產量x（百件）（x≥0）的函數f（x）；
（2）當年產量為多少件時，公司可獲得最大年利潤？

Answer 1

分析：（1）分類討論：①當0≤x≤5時，②當x＞5時，分別寫出函數f（x）的表達式，最后利用分段函數的形式寫出所求函數解析式即可；
（2）分別求出當0≤x≤5時，及當x＞5時，f（x）的最大值，最后綜上所述，當x為多少時，f（x）有最大值，即當年產量為多少件時，公司可獲得最大年利潤．

解答：解：（1）當0≤x≤5時，f（x）=R（x）-0.5-0.25x
=-

1

2

x²+4.75x-0.5；當x＞5時，
f（x）=R（5）-0.5-0.25x=12-0.25x，
故所求函數解析式為f(x)=

- 1 2 x2+4.75x-0.5     (0≤x≤5) 12-0.25x                   (x＞5)

．
（2）0≤x≤5時，f（x）=-

1

2

（x-4.75）²+10.78125，
∴在x=4.75時，
f（x）有最大值10.78125，當x＞5時，
f（x）=12-0.25x＜12-0.25×5
=10.75＜10.78125，
綜上所述，當x=4.75時，f（x）有最大值，即當年產量為475件時，公司可獲得最大年利潤．

點評：本題考查了分段函數，以及函數與方程的思想，屬于基礎題．函數模型為分段函數，求分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值，取各部分的最小者為整個函數的最小值．